0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Угловое ускорение Как рассчитать и примеры

Угловое ускорение Как рассчитать и примеры

угловое ускорение это изменение, которое влияет на угловую скорость, принимая во внимание единицу времени. Он представлен греческой буквой альфа, α. Угловое ускорение является векторной величиной; следовательно, он состоит из модуля, направления и смысла.

Единицей измерения углового ускорения в Международной системе является радиан в секунду в квадрате. Таким образом, угловое ускорение позволяет определить, как угловая скорость изменяется во времени. Угловое ускорение, связанное с равномерно ускоренными круговыми движениями, часто изучается.

Таким образом, при равномерно ускоренном круговом движении значение углового ускорения является постоянным. Наоборот, при равномерном круговом движении значение углового ускорения равно нулю. Угловое ускорение эквивалентно в круговом движении тангенциальному или линейному ускорению при прямолинейном движении.

На самом деле его значение прямо пропорционально значению тангенциального ускорения. Таким образом, чем больше угловое ускорение колес велосипеда, тем больше испытываемое ускорение.

Следовательно, угловое ускорение присутствует как в колесах велосипеда, так и в колесах любого другого транспортного средства, при условии изменения скорости вращения колеса..

Аналогично, угловое ускорение также присутствует в колесе, поскольку оно испытывает равномерно ускоренное круговое движение, когда оно начинает свое движение. Конечно, угловое ускорение также можно найти в карусели.

  • 1 Как рассчитать угловое ускорение?
    • 1.1 Равномерно ускоренное круговое движение
    • 1.2 Крутящий момент и угловое ускорение
    • 2.1 Первый пример
    • 2.2 Второй пример
    • 2.3 Третий пример

    1. Организационный момент – 5 мин.

    2. Проверка домашнего задания.

    1. Тело, падающее без начальной скорости с некоторой высоты h1, прошло последние h2 = 30 м за время t2 = 0,5 с. Найти высоту падения h1 и время падения t1. Сопротивлением воздуха пренебречь.

    Решение: За начало координат О возьмем точку, находящуюся на высоте h1 от поверхности Земли, ось OY направим вертикально вниз (см. рис.).

    Время будем отсчитывать с момента начала движения тела. В начальный момент времени y = 0, oy= 0. Проекция ускорения на ось OY равна аy = g. Тогда уравнение, выражающее зависимость координат тела от времени, будет иметь вид:

    В момент времени t1 – t2 координата тела будет равна:

    Когда тело упадет на землю, у = h1, t = t1. Согласно уравнению (1)

    Подставив это значение h1 в уравнение (2), получим:

    Отсюда после преобразований найдем

    Подставив численные значения в формулы (4) и (3) получим

    Ответ: = 6,3 с, h1 = 195 м.

    3. Актуализация знаний, умений, навыков.

    1. По графику зависимости координаты х от времени t, изображенной на рисунке построить графики зависимости и

    На рисунке ОА и ВС – участки парабол.

    Решение: Соответствующие графики показаны на рис. б) и в). При построении их учтено, что в течение промежутка времени от 0 до t1 тело двигалось равноускоренно, от t1 до t2 – равномерно, от t2 до t3 – равнозамедленно, от t3 до t4 – находилось в состоянии покоя.

    2. По графику зависимости ускорения от времени установите скорость в момент времени 15 с, если в момент времени 1 с скорость равна 3 м/с.

    Решение: Для удобства решения задачи обозначим точки, соответствующие временам t = 2, 5, 9, 12, 15 секунд соответственно А В С Д Е. Каждый участок зависимости рассмотрим отдельно.

    На участке ОА тело двигалось равномерно (без ускорения) и в конце 2-ой секунды (в т. A) будет иметь скорость =3 м/с. На участках АВ и СД тело двигалось с переменным ускорением. Но, как видно из рисунка, ускорение на этих участках изменяется линейно с течением времени – на участке АВ оно растет, на участке СД оно (ускорение) уменьшается. Поэтому на участках АВ и СД можно считать движение равноускоренным с ускорением, найденным как среднеарифметическое, т.е.

    Принимая движение на участке АВ эквивалентным равноускоренному, вычислим скорость в конце 5-ой секунды, используя формулу:

    где t – время движения на участке АВ, t = 3 с

    На участке ВС тело двигалось равноускоренно, с а = 60 м/c 2 , поэтому скорость υС в конце 9-ой секунды равно:

    На участке СД скорость рассчитывается та же, как и на участке АВ с учетом ускорения:

    На участке ДЕ тело двигалось без ускорения (равномерно), значит скорость его не изменилась к концу 15-ой секунды.

    Ответ: υЕ = 423 м/с.

    4. Закрепление знаний, умений, навыков.

    Попробовать решить самостоятельно, проверить, написав правильное решение на доске.

    1. Тело движется с начальной скоростью 2 м/c в течении 6 с. Построить графики пути и скорости.

    2. Дан график зависимости координаты движения от времени. Построить график проекции скорости и пути от времени движения для t [0; 8 с].

    Для 0 t 2 с график координаты – прямая линия, следовательно, движение равномерное и прямолинейное.

    Определим проекцию скорости

    Движение происходит в направлении, противоположном положительному направлению оси ОХ (координата уменьшается).

    при t = 2 с, S1 = 2 м/с • 2 с = 4 м.

    Для 2 t 6 с – координата не изменяется – тело не движется:

    Для 6 t 8 с – график координаты – прямая линия. Следовательно, движение равномерное прямолинейное в направлении оси ОХ, так как коор-дината увеличивается.

    Определим ; = 2 м/с > 0

    S3 = v3 (t – t03) S = 2 м/с (t – 6 с) S = 2 м/с (8–6) с = 4 м.

    Путь за 8 с равен: S = S1 + S3 = 8 (м).

    Построим графики зависимости проекции скорости и пути от времени для этого движения.

    График движения

    График, неравномерное движение

    Существует простая геометрическая интерпретация траектории движения, по которой двигалась материальная точка. Когда тело перемещается с одной и той же скоростью, равняющейся v, то длительность пройденного отрезка будет определяться выражением: ∆t = t2 − t1, где t1 и t2 — начальный и конечный момент времени. Вполне логично предположить, что за указанный промежуток времени тело переместится на расстояние, равное: s = v * (t 2 — t 1) = v * ∆t.

    В этом случае график пути в декартовой системе координат будет выглядеть как прямая. При этом пройденное расстояние, по сути, будет определяться площадью прямоугольника, построенного вниз от линии пути до оси времени. Скорость будет соответствовать вертикальной стороне фигуры, а изменение времени — горизонтальной.

    Теперь можно рассмотреть, как будет выглядеть график неравномерного движения. Средняя скорость тела зависит от времени на конкретно взятом промежутке, ограниченном моментами t1 и t2. Пусть рассматриваемый отрезок будет разбит на промежутки, равные ∆t. Можно предположить, что в каждом таком отрезке скорость движения остаётся неизменной. Плавное её изменение можно заменить аппроксимацией ступенчатого вида. Иными словами, в каждом таком промежутке увеличение v (t) будет определяться выражением: v (t) ] = [ti, ti + ∆t].

    Тогда ∆t будет совпадать с площадью прямоугольника, находящегося под ступенькой. Таким образом, путь будет определяться суммой всех площадей на графике. Когда ∆t направлена в сторону нуля, то сумма площадей этих прямоугольников будет располагаться под скоростью. То есть фактически — обозначать путь, пройденный телом с начальной точки до конечной.

    Исходя из сказанного, можно утверждать, что расстояние, которая проходит точка при неравномерном движении, определяется площадью, находящейся под графиком скорости на установленном промежутке времени. Это определение является общим для любого типа перемещений.

    Задача на определение времени движения

    Автомобиль должен отвести пассажира из пункта A в пункт B. Расстояние между ними 30 км. Известно, что авто в течение 20 секунд движется с ускорением 1 м/с2. Затем его скорость не меняется. За какое время авто доставит пассажира в пункт B?

    Расстояние, которое авто за 20 секунд пройдет, будет равно:

    При этом скорость, которую он наберет за 20 секунд, равна:

    Тогда искомое время движения t можно вычислить по следующей формуле:

    t = (S — S1) / v + t1 = (S — a * t12 / 2) / (a * t1) + t1.

    Здесь S — расстояние между A и B.

    Переведем все известные данные в систему СИ и подставим в записанное выражение. Получим ответ: t = 1510 секунд или приблизительно 25 минут.

    Расчет траектории движения точки

    Уравнения движения можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки.

    Наш видеоурок по теме:

    Чтобы узнать вид траектории в координатной форме, надо получить прямую зависимость между переменными x и y, для этого избавимся от параметра времени t, выразив его, например, из первого уравнения и подставив во второе.

    Получение зависимости y от x

    Уравнение траектории движения точки
    Получилось квадратное уравнение. То есть точка движется по параболе.

    Построим ее рассчитав несколько её точек.
    Расчет траектории
    Построение траектории движения точкиПостроение траектории движения точки

    Положение точки на траектории

    Определим положения точки в начале движения и в заданный момент времени.

    Для этого в исходные уравнения подставляем соответственно сначала 0
    Координаты начального положения точки

    потом половину секунды.
    Координаты точки на траектории в заданный момент времени
    Положение точки на ее траектории в заданный момент обозначим буквой M, и все остальные параметры будем рассчитывать для неё.

    Положение точки на траектории

    Положение точки на траектории

    Расет скорости точки

    Направление и величину скорости точки определим как векторную сумму её проекций на оси координат.
    Вектор скорости точки
    Здесь i, j — орты осей x и y.
    vx, vy — проекции вектора скорости на оси координат.

    Проекции вектора скорости получим, взяв первые производные по времени t от соответствующих заданных уравнений движения точки.
    Проекции вектора скорости точки
    Далее выбрав масштаб, из точки M последовательно и с учетом знака, откладываем оба вектора.
    Проекции вектора скорости на оси координатПроекции вектора скорости на оси координат
    Сам вектор скорости получим, соединив точку M с концом второго вектора и направив его по ходу движения точки.
    Направление вектора скорости точкиВектор скорости точки
    Здесь надо отметить, что вектор скорости всегда должен располагаться по касательной к траектории. Любое другое положение будет указывать на ошибки в расчетах.

    Рассчитаем модуль вектора скорости
    Модуль вектора скорости

    Расчет ускорений точки

    Проекции полного ускорения точки на оси координат определяются как вторая производная от исходных уравнений движения точки.
    Расчет проекций вектора полного ускорения
    В этом примере, горизонтальная проекция ускорения оказалась равной нулю, поэтому его модуль и направление будут совпадать с вертикальной.
    Модуль полного ускорения
    Проекции скорости точки на оси координатПроекции скорости точки на оси координат
    Касательная составляющая полного ускорения это производная скорости точки по времени.
    Касательное ускорение
    Ее можно рассчитать по этой формуле.
    Модуль касательного ускорения точки
    Вектор касательного ускорения, если оно, конечно, есть, всегда направлен вдоль вектора скорости.
    Нормальное, касательное и полное ускорения точкиНормальное, касательное и полное ускорения точки
    Положительная величина говорит об ускоренном движении точки и тогда направления скорости и касательного ускорения совпадают.
    В противном случае они разнонаправлены, и движение точки замедляется.

    Модуль нормального ускорения определим по формуле Пифагора, так как векторы касательного и центростремительного ускорений всегда взаимно перпендикулярны.
    Модуль нормального ускорения

    Расчет радиуса кривизны траектории

    Осталось найти только радиус кривизны траектории в точке M, который равен отношению квадрата скорости к модулю нормального ускорения.
    Получение зависимости y от x

    Радиус кривизны траектории точки

    Радиус кривизны траектории точки

    Результаты расчетов

    Результаты расчетов
    На рисунке показано положение точки M в заданный момент времени и векторы скорости и ускорений в выбранном масштабе.
    Скорость, ускорение и радиус кривизны траектории в заданный момент времениСкорость, ускорение и радиус кривизны траектории в заданный момент времени

    Вектор v строим по составляющим vx и vy, причем этот вектор должен по направлению совпадать с касательной к траектории.

    Вектор a строим по составляющим ax и ay и затем раскладываем на составляющие векторы aτ и an. Совпадение величин aτ и an, найденных из чертежа, с их значениями, полученными аналитически, служит критерием правильности решения.

    Уважаемые студенты!
    На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
    ✔ Решение задач и контрольных
    ✔ Выполнение учебных работ
    ✔ Помощь на экзаменах

    Модуль вектора ускорения

    Как вы поняли из написанного выше (и из 9-го класса), нахождение модуля вектора ускорения происходит тем же образом, что и модуля вектора скорости: извлекаем корень квадратный из суммы квадратов координат вектора, все просто! Ну и вот вам, конечно же, пример:

    Пример нахождения вектора ускорения

    Как вы видите, ускорение материальной точки по заданному выше закону не зависит от времени и имеет постоянную величину и направление.

    Автор: Павел Чайка, главный редактор журнала Познавайка

    При написании статьи старался сделать ее максимально интересной, полезной и качественной. Буду благодарен за любую обратную связь и конструктивную критику в виде комментариев к статье. Также Ваше пожелание/вопрос/предложение можете написать на мою почту pavelchaika1983@gmail.com или в Фейсбук, с уважением автор.

    Похожие посты:

    Один комментарий

    V=Vo+at. Какое V? Их несколько: V нач., V кон., V средняя, V мгновенная…
    Просто V-это, имеется в виду, -V ср. Любое V, если это равномерное движение, V нач.=V кон. есть СРЕДНЯЯ скорость. (у “яблока…”) 9,8…=2at. V нач. НЕ РАВНО V кон. По этому искать ускорение надо из средней скорости (не впутывая “интегралы”) . При равно-ускоренном движении V кон=2V нач. Скорость at-это средняя скорость-S/t. Она=(v+V)/2 S=..*t
    9,8..=2at. t=1. a=4,9 м/сек.сек. S=(0+2at)/2*t. S=att. a=S/tt. 4,9/1/1=4,9 м/сек.сек.
    V ср.=at. 4,9/1=4,9 м/сек.сек.
    “Если “что-то”, имеющее вес (массу) прошло путь S за время t- ускорения S/tt и F/m- РАВНЫ ! S/tt=F/m. S,t,m можно измерить. Задача: найти F ! Ньютон пытался вывести эту формулу, но /2 мешало…
    S=V ср*t=at*t=(v+V)/2*t=F/m*tt=S/tt*t…
    V=vo+at-это СРЕДНЯЯ скорость, с нач. скоростью больше 0. *t=S
    График движения НЕ имеет значения ни для средней скорости,ни для ускорения, т.к. ускорение-это ЭНЕРГИЯ движения, равная изменению скорости и измеряющаяся м/сек.сек. V,t ,S ,F,m “связаны” между собой. Их “объединяет” “а”-ускорение.
    ….инженерам задание: m автомобиля- не более 1500 кг. разгон до сотни- не более 8 сек. Какой мощности нужен мотор?. (КПД любого бензинового ДВС=16%)
    V ср./t=F/m. 13,9/8=F/1500. F=2606 кг.м./с. Это при 100% КПД=34,75 л.с. 34,75*6,25=217 л.с S=att/2-ошибка ! S=att. S=vo*t+att/2 – НЕ верное решение ! S=Vot+att. Результат-другой !
    И искать ускорение : (V-v)/t-НЕЛЬЗЯ ! a=(v+V)/2t.

    голоса
    Рейтинг статьи
    Читайте так же:
    Можно ли делать узи во время месячных?
Ссылка на основную публикацию
ВсеИнструменты
Adblock
detector